Επιμέλεια - έρευνα: Δρ Δημήτρης Περδετζόγλου
Το Σπειροειδές
στη Φύση, στην Ανάπτυξη... στο Σύμπαν
Είναι γνωστό ότι η Φύση ακολουθεί κανόνες αρμονίας που βασίζονται σε μαθηματικές εκφράσεις στις οποίες είχαν εμβαθύνει και οι αρχαίοι Έλληνες.
Ανάμεσα σε αυτές είναι για παράδειγμα η Χρυσή Τομή (φ=161804…) την οποία επέλεγαν και επιλέγουν οι άνθρωποι κυρίως για αισθητικούς λόγους.
Η Φύση όμως ‘’επιλέγει’’ τη λογαριθμική σπείρα για να ‘’κατασκευάσει’’ μια πληθώρα από δομές. Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες και προελεύσεις.
Για παράδειγμα, σε μικρή κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, και στα σαλιγκάρια της ξηράς. Σε ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων. Και σε μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια. Τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους.
H ανάπτυξη των οστράκων επηρεάζεται από το διαθέσιμο χώρο. H δημιουργία των κυκλώνων οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής. Εξάλλου, λόγω της περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ενώ στο νότιο ημισφαίριο αντίστροφα. Τέλος, σπείρες είναι περιοχές ενός γαλαξία όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, και οι οποίες δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή τους απόσταση.
Αλλά και η Σπείρα, που συνδυάζει το σχήμα ενός κύκλου και τη δυναμική κίνησή του μέσα στο χρόνο, ακολουθεί κανόνες αρμονίας με μαθηματικούς όρους. Η σπείρα, ως μέρος της ομαλής ατελείωτης γραμμής συμβολίζει επίσης την ανάπτυξη, την συνέχεια, τον ρυθμό της αναπνοής και της ίδιας της ζωής. Στη λαϊκή παράδοση λέγεται ότι όταν χρησιμοποιείτε η σπείρα ως προσωπικό φυλαχτό, βοηθά τη συνείδηση μας να αποδεχθεί τις στροφές, τις αλλαγές και την εξέλιξη της ζωής. Εξάλλου, η σπείρα είναι ένα από τα αρχέγονα μοτίβα της φύσης μαζί με τον κύκλο, το δίχτυ και τον κυματισμό. Ωστόσο, οι σπείρες είναι από τα πλέον εντυπωσιακά σχήματα που εμφανίζονται συχνά στη φύση.
H προσεκτική παρατήρηση στη Φύση δείχνει ότι τα γεράκια πλησιάζουν και κτυπούν το θήραμά τους κατευθυνόμενα σε μια ιδεατή λογαριθμική σπείρα. Και τα έντομα πλησιάζουν μια πηγή φωτός σε μια λογαριθμική σπείρα. Οι τροπικοί κυκλώνες δημιουργούν μορφή λογαριθμικής σπείρας. Αλλά και ο γαλαξίας μας αποτελείται κατά προσέγγιση από λογαριθμικές σπείρες. Στη βιολογία οι δομές λογαριθμικής σπείρας εμφανίζονται συχνότατα.
Στα κοχύλια, στους ιστούς της αράχνης, στις έλικες των φυτών, στα κέρατα του αίγαγρου, στα ανθύλλια της μαργαρίτας, στο κουνουπίδι, στα κουκουνάρια των πεύκων. Συνοψίζοντας βλέπουμε τόσο στον μακρόκοσμο όσο και στον μικρόκοσμο, υπάρχουν σπειροειδείς και ελικοειδείς σχηματισμοί, όπως είναι οι απέραντοι σπειροειδείς γαλαξίες ή η διπλή έλικα στο μόριο του DNA.
Η λογαριθμική ή ισογώνια σπείρα ή σπείρα Fibonacci διακρίνεται από την αρχιμηδική σπείρα καθώς οι αποστάσεις μεταξύ των τροχιών της αυξάνουν κατά γεωμετρική πρόοδο, ενώ σε μια αρχιμηδική σπείρα αυτές οι αποστάσεις είναι σταθερές. Η σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιήθηκε σε τροχούς για να μετατρέψει την ομαλή κυκλική κίνηση σε ευθύγραμμη ομαλή. Μία δεύτερη εφαρμογή της σπείρας του Αρχιμήδη, είναι ότι μπορεί να διαιρέσει μία γωνία σε όσες ίσες γωνίες θέλουμε με αρκετά απλό τρόπο.
Αυτό σημαίνει ότι μπορεί ακόμα και να τριχοτομήσει μία οποιαδήποτε γωνία. Η ισογώνια ή λογαριθμική σπείρα ανακαλύφθηκε το 1638 από το Γάλλο φιλόσοφο και μαθηματικό Rene Descartes (1596-1650 ). Ο Ιταλός φυσικός και μαθηματικός EvangelistaTorricelli (1608-1647) τη μελέτησε ανεξάρτητα και υπολόγισε το μήκος της καμπύλης από τον πόλο της μέχρι ένα οποιοδήποτε σημείο της.
Αν και οι ελιγμοί της σπείρας είναι άπειροι γύρω από το κέντρο της, επειδή γίνονται όλο και πιο κοντά στο κέντρο, το μήκος της από ένα σημείο της μέχρι το κέντρο δεν είναι άπειρο αλλά πεπερασμένο. Αυτό ακούγεται κάπως παράλογο, όμως από την αρχαιότητα είχαν αντιληφθεί ότι είναι δυνατόν να προσθέτουμε άπειρους αριθμούς και το αποτέλεσμα να είναι ένας πραγματικός αριθμός. Η επινόηση αυτή οφείλεται κατά πολύ στον Αρχιμήδη ο οποίος χρησιμοποιούσε τέτοια αθροίσματα στις μεθόδους του. Η λογαριθμική σπείρα έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες για τους μαθηματικούς.
Εκτός του ότι ελίσσεται άπειρες φορές γύρω από τον πόλο της, παραμένει αμετάβλητη όταν εφαρμόσουμε κάποιους μαθηματικούς μετασχηματισμούς. Για παράδειγμα, αν την μεγεθύνουμε, το σχήμα της δεν θα αλλάξει αλλά θα είναι ένα ακριβές αντίγραφο του εαυτού της (ίσως να χρειαστεί να την περιστρέψουμε λίγο μόνο για να ταυτιστεί με το αρχικό σχέδιο). Δηλαδή όπως και να κοιτάξουμε, σε μικρότερη ή μεγαλύτερη κλίμακα το σχήμα της είναι το ίδιο.
Ο Ελβετός μαθηματικός Jacob Bernoulli (1655-1705) ενθουσιάστηκε τόσο πολύ με αυτές τις ιδιότητές της που το 1692 την ονόμασε ‘’spira mirabilis’’. Και έγραψε ότι η λογαριθμική σπείρα ‘’μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένα σύμβολο, είτε από σθένος και σταθερότητα στις αντιξοότητες, ή του ανθρώπινου σώματος, το οποίο μετά από όλες τις αλλαγές του, ακόμα και μετά το θάνατο, θα πρέπει να αποκατασταθεί σε ακριβή και τέλεια τον εαυτό του ‘’.
Ο Bernoulli ήταν τόσο μαγεμένος με τη λογαριθμική σπείρα που ζήτησε να τη σκαλίσουν στο μνήμα του με την επιγραφή «Eadem mutata resurgo» που σημαίνει «Αν και έχω αλλάξει θα ξαναπάρω την ίδια μορφή». Η επιθυμία του όμως εκτελέστηκε πολύ άσχημα, αφού ο γλύπτης σκάλισε μία σπείρα που δεν ήταν λογαριθμική αλλά Αρχιμηδική, καθώς το πλάτος μεταξύ δύο διαδοχικών περιστροφών παραμένει το ίδιο κάθε φορά.
Υπάρχουν πολλά βιβλία και επιστημονικά άρθρα, που αναφέρονται στη λογαριθμική σπείρα και τη σχέση της με την ανάπτυξη των οργανισμών. Αυτή συναντάται στις διατάξεις των ανθυλλιών ή των σπορίων στα φυτά (π.χ. μαργαρίτα, ηλίανθος). Σε πολλά περιγράμματα φύλλων όπως της μπιγκόνιας, που είναι περίπου λογαριθμικές σπείρες. Στα όστρακα διαφόρων οργανισμών όπως είναι ο ναυτίλος και τα κελύφη των αμμωνιτών που έζησαν πριν από περίπου 300 εκατομμύρια χρόνια.
Στα κέρατα ζώων όπως οι γαζέλες ή οι αίγαγροι, στους χαυλιόδοντες του ελέφαντα ή ακόμα και στα γαμψά νύχια πολλών ζώων. Στους ιστούς της αράχνης Epeira. Πολλοί γαλαξίες έχουν σπειροειδή μορφή. Αλλά και οι κυκλώνες έχουν σπειροειδή μορφή. Τέτοιοι κυκλώνες έχουν φωτογραφηθεί από δορυφόρους, τόσο στην γη, όσο και σε άλλους πλανήτες όπως τον Δία ή τον Κρόνο. Στις διακοσμήσεις πολλών κτιρίων όπως στις κολώνες στα αρχαία ελληνικά κιονόκρανα, ή τις ροζέτες.
Ο μεγάλος Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler (1707-1783) πρότεινε τη λογαριθμική σπείρα ως τη βέλτιστη καμπύλη για τις ράγες των τρένων, τόσο για το σταμάτημα όσο και για το στρίψιμο των τραίνων. Για τον ίδιο λόγο η λογαριθμική σπείρα είναι βέλτιστη και στις στροφές των αυτοκινητοδρόμων. Ωστόσο, πολλοί καλλιτέχνες συνειδητά ή ασυνείδητα κατασκεύασαν λογαριθμικές σπείρες στα έργα τους.
Η φύση διαθέτει και έλικες και σπείρες, καθώς επίσης και μια σύνθεσή τους, που εμφανίζεται στα κοχύλια. Το σχήμα ορισμένων αμμωνιτών (μαλάκια που έζησαν πριν από 300 εκατομμύρια χρόνια) μοιάζει με την έλικα του Αρχιμήδη, καθώς φαίνεται ότι είχαν μικρό ρυθμό ανάπτυξης, όπου οι διαδοχικές περιελίξεις ισαπέχουν μεταξύ τους.
Ωστόσο, οι περισσότεροι αμμωνίτες είχαν κελύφη λογαριθμικής σπείρας, πράγμα που σημαίνει ότι μεγάλωναν εκθετικά, διπλασιάζοντας το μέγεθός τους σε συγκεκριμένες χρονικές περιόδους. Το κέλυφος του Ναυτίλου (γνωστό μαλάκιο που ζει στα βάθη του Ινδικού Ωκεανού), αποτελείται από καμπυλωμένες κυψελίδες που περιστρέφονται και μεγαλώνουν σταδιακά.
Η δομή της ανάπτυξης ενός ναυτίλου παράγει ένα σχήμα λογαριθμικής σπείρας. Ένας αναπτυσσόμενος ναυτίλος δεν μπορεί να επεκταθεί στο εσωτερικό ενός σταθερού όστρακου, ούτε το τελευταίο μπορεί να επεκταθεί ώστε να χωρέσει έναν μεγαλύτερο ένοικο, εκτός κι αν εκείνος χτίσει επέκταση. Ακριβώς αυτό κάνει κι ο ναυτίλος. Προσθέτει νέο υλικό στο άκρο του κελύφους του και καθώς ο οργανισμός αναπτύσσεται εκθετικά, το ίδιο κάνει και το κέλυφος. Τα σαλιγκάρια με κελύφη στη στεριά και στα νερά, κατασκευάζουν παρόμοια κελύφη που συχνά περιελίσσονται κατά την τρίτη διεύθυνση. Φυσικά, το σχήμα του κελύφους είναι πάντοτε τρισδιάστατο.
Ο πυρήνας της έλικας -η γραμμή που διατρέχει τα κέντρα των θαλάμων- παύει να βρίσκεται σ' ένα επίπεδο κι αρχίζει να συστρέφεται στην τρίτη διεύθυνση. Προσθέτοντας ένα νέο θάλαμο κι αλλάζοντας το μέγεθός του με κανονικό τρόπο, το σαλιγκάρι κατασκευάζει έναν θάλαμο υπό γωνία ως προς το επίπεδο του προηγούμενου. Το σχήμα των σπειροειδών κελυφών εξηγείται με τη συμμετρία διαστολής - περιστροφής. Μια συμμετρία που μεταβάλει την κλίμακα ενός αντικειμένου ονομάζεται διαστολή.
Η διαστολή πολλαπλασιάζει όλες τις αποστάσεις επί μια καθορισμένη ποσότητα, τον παράγοντα κλίμακας. Αν ο τελευταίος είναι μικρότερος της μονάδας, οι αποστάσεις συρρικνώνονται : έχουμε συστολή. Αν ο παράγοντας κλίμακας είναι μεγαλύτερος, όλες οι αποστάσεις αυξάνονται : το αντικείμενο μεγεθύνεται και διαστέλλεται. Αν συνδυάσουμε τη διαστολή με μία περιστροφή, το σχήμα που προκύπτει είναι μία σπείρα.
Στα φυτά και ιδιαίτερα στη κορυφή του βλαστού τους, παράγονται σμήνη κυττάρων, έτοιμα να εξειδικευτούν σε όργανα. Τα σμήνη, που ονομάζονται πρωτογενή μεριστώματα, δημιουργούνται από ένα κάθε φορά. Το συνολικό σχήμα ανάπτυξης είναι σπειροειδές. Κάθε διαδοχικό μερίστωμα εμφανίζεται κατά μήκος μιας στενά περιελισσόμενης παραγωγικής σπείρας και η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών μεριστωμάτων είναι η χρυσή γωνία.
Αποδεικνύεται ότι αυτή η ιδιαίτερη γωνία οδηγεί σε αποτελεσματική επισώρευση των μεριστωμάτων ενώ καμμία άλλη γωνία δεν δίνει το ίδιο αποτέλεσμα. Όμως, αυτή η αποτελεσματικότητα είναι συνέπεια κι όχι αίτιο του σχήματος της ανάπτυξης. Η απόσταση της χρυσής γωνίας είναι αποτέλεσμα μηχανικών και χημικών επιδράσεων που ενθαρρύνουν κάθε νέο πρωτογενές μερίστωμα να αναπτυχθεί στη μεγαλύτερη διαθέσιμη κενή περιοχή.
Το πιο θεαματικό παράδειγμα φυτού που ακολουθεί την αριθμολογία Fibonacci είναι ο ηλίανθος στα ανθικά του κεφάλια. Εδώ, τα ανθύλλια και μετέπειτα οι σπόροι του είναι τοποθετημένα κατά μήκος μιας παραγωγικής σπείρας σε διαδοχικές αποστάσεις που διαφέρουν κατά τη χρυσή γωνία, ενώ ευθυγραμμίζονται σε πιο εμφανείς σπειροειδείς περιελίξεις. Συνήθως υπάρχουν 34 δεξιόστροφες περιελίξεις και 55 αριστερόστροφες, ή 55 και 89, ή 89 και 144, όλοι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci.
Η αριθμολογία Fibonacci και η γεωμετρία της σπείρας υπαγορεύουν ότι η ανάπτυξη του φυτού υπακούει σε απλούς αλλά κρυμμένους μαθηματικούς νόμους που βρίσκονται στο κοινό σύνορο της δυναμικής, της γεωμετρίας και της αριθμητικής.
Ο μυξομύκητας που αποτελεί αποικία αμοιβάδων, είναι ένας μικροσκοπικός οργανισμός, που δημιουργεί όμως τα πλέον θεαματικά σπειροειδή σχήματα. Ο κύκλος ζωής του αρχίζει μ' ένα μικρό σπόρο, που διασκορπίζεται στον αέρα μέχρι να βρει ένα καλό και υγρό μέρος. Εκεί μετατρέπεται σε αυθεντική αμοιβάδα, αναζητά τροφή κι αρχίζει ν' αναπαράγεται με διαίρεση μέχρι να γίνει αρκετά μεγάλη. Σύντομα οι αμοιβάδες γίνονται πολλές. Η τροφή δεν επαρκεί, και οι αμοιβάδες σκορπίζονται σε μικρές περιοχές. Όλες οι αμοιβάδες σε μια περιοχή συγκεντρώνονται η μία κοντά στην άλλη και, καθώς το πλήθος τους κινείται προς τον κοινό προορισμό, σχηματίζουν κομψές σπείρες οι οποίες, κατά σύμπτωση, περιστρέφονται αργά.
Το πλήθος των αμοιβάδων γίνεται πυκνότερο και οι σπείρες ολοένα και πιο κλειστές. Κατόπιν αναλύονται σε ευθύγραμμα σχήματα που μοιάζουν με ρίζες. Οι γραμμές αυξάνουν σε πάχος και, καθώς ολοένα και περισσότερες αμοιβάδες προσπαθούν να φτάσουν στο ίδιο μέρος, συσσωρεύονται δημιουργώντας τη γνωστή βλεννώδη μάζα. Η τελευταία είναι μια ολόκληρη αποικία. Κινείται σαν μεμονωμένος οργανισμός, αναζητώντας κάποιο στεγνό μέρος για να αναπαραχθεί. Όταν το βρει, εγκαθίσταται στο έδαφος και υψώνει ένα μακρύ στέλεχος.
Οι υπόλοιπες αμοιβάδες σχηματίζουν μια στρογγυλή δομή στην κορυφή του στελέχους, ενώ οι αμοιβάδες στο καρποφόρο σώμα μετατρέπονται σε σπόρους, σκορπίζονται στον αέρα κι ο κύκλος επαναλαμβάνεται.
Και για να απλοποιήσουμε το ζήτημα μπορούμε να πούμε ότι οι λογαριθμικές σπείρες εμφανίζονται τόσο συχνά στη φύση, διότι είναι το αποτέλεσμα μιας απλής μαθηματικής διαδικασίας ανάπτυξης. Με απλά λόγια θα την περιγράφαμε ως εξής: Αυξήσου μία μονάδα, Στρίψε μία μονάδα/ Αυξήσου δύο μονάδες, Στρίψε μία μονάδα/ Αυξήσου τρεις μονάδες, Στρίψε μία μονάδα/κ.ο.κ.
Κάθε διαδικασία που «Στρίβει» με σταθερό ρυθμό και «Αυξάνει» με σταθερά επιταχυνόμενο ρυθμό, θα δημιουργήσει μία λογαριθμική σπείρα. Κάπως έτσι δημιουργούνται και οι σπείρες στα ανθύλλια των λουλουδιών.
Η Σπείρα είναι ένα από τα αρχαιότερα σύμβολα και χρησιμοποιείται από την παλαιολιθική εποχή στον Ελλαδικό χώρο και σε πάρα πολλούς αρχαίους πολιτισμούς σε όλο τον κόσμο. Τη συναντάμε σχεδόν σε όλες τις Ελληνικές κατοικίες και στολίζει αρχιτεκτονικά όλα τα σπουδαία δημόσια και ιδιωτικά κτίρια και μνημεία. Η στροβιλιστική περιέλιξη, η Σπείρα, η δίνη, η υπέρθεση δύο υλικών σωμάτων ή δύο ενεργειακών ρευμάτων, δεν είναι τίποτα άλλο παρά ο τρόπος που δημιουργείται η ζωή, πάνω από όλα είναι σύμβολο της ‘’Ζωτικής Δύναμης’’.
Τη Σπειροειδή κίνηση τη βλέπουμε παντού στη φύση. Το σχήμα του σπιράλ (spiral) το συναντούμε παντού στη Φύση. Ζούμε σε έναν γαλαξία Σπειροειδή τύπου. Οι ανεμοστρόβιλοι, τα πανάρχαια απολιθώματα κοχυλιών και οστρακόδερμων, έως το σχηματισμό των δακτυλικών αποτυπωμάτων, των τυφώνων και των γαλαξιών, ακόμα και το μόριο του DNA έχει τη μορφή της σπείρας.
Το σπειροειδές, αντιπροσωπεύει ποικιλοτρόπως, τόσο τις ηλιακές όσο και τις σεληνιακές δυνάμεις. Ο αέρας, τα νερά, ο κεραυνός και η αστραπή είναι επίσης μια δίνη, η μεγάλη δημιουργική δύναμη. Επίσης διαστέλλεται και συστέλλεται, απεικονίζει την αύξηση και τη μείωση του ήλιου ή της σελήνης, τη γέννηση και ανάπτυξη των όντων. Συμβολίζει επίσης τη συνέχεια, το περιστρεφόμενο σύμπαν, την πορεία του ήλιου, τις εναλλαγές των εποχών, την περιφορά της Γής.
Ξετυλίγεται μέσα από μύθους, θρησκευτικές δοξασίες και θρύλους. Είναι χαραγμένη στα εδάφη πάνω σε βράχους, αλλά και σε προϊστορικά μεγαλιθικά μνημεία. Σχηματίζεται με μύριους τρόπους στα έμβια όντα, από τα πανάρχαια όστρακα, στο μαγευτικό μπλε σπιράλ στις αποικίες των ανθόζωων, στο σχηματισμό ζωτικών οργάνων σε ζώα και φυτά, έως και το αίμα μας που κινείται σπειροειδώς, χωρίς να το καταλαβαίνουμε.
Η έλικα, βασίζεται σε καμπύλες, καθώς μια επίπεδη καμπύλη που περιστρέφεται κινούμενη προς τα έξω, ή μια στρεβλωμένη καμπύλη στον χώρο, σαν μια ελικοειδή σκάλα. Η σπείρα είναι μία καμπύλη που περιελίσσεται, και διαρκώς απομακρύνεται, γύρω από ένα κεντρικό σημείο.
Από τις διάφορες μορφές σπειρών, μόνο ένα είδος διαθέτει ακριβή συμμετρία διαστολής και είναι η λογαριθμική σπείρα. Το όνομα προκύπτει επειδή η γωνία κατά την οποία στρέφεται, δίνεται από τον λογάριθμο της ακτίνας. Ένας ευφάνταστος τρόπος περιγραφής της είναι μία ράβδος άπειρου μήκους που περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό σημείο με σταθερή ταχύτητα.
Η σπείρα ή η έλικα απεικονίζεται σε μικρά ή τεράστια καλλιτεχνήματα στους τοίχους από τη εποχή της αρχαίας Θήρας, αλλά και σχεδόν σε κάθε αγγείο της μινωικής εποχής στην Κρήτη και Σαντορίνη. Αποτυπώνεται και είναι το μοναδικό σύμβολο που υπάρχει εντός κι εκτός των ιερών χρυσών αγγείων των Μυκηναίων. Η σπείρα αγγίζει απαλά και προστατεύει όλα τα κεφάλια των αρχαίων κορασίδων με τη δομή τού ιερού κόμπου, αλλά βρίσκεται και σε όλες τις κόμες των πανέμορφων Κούρων. Τη βλέπουμε σκαλισμένη σε κρυφούς βράχους στο Ιερό των Θεών στη Σαμοθράκη.
Ουσιαστικά, κατακλύζει, κάθε έκφραση της ύλης και της ζωής, από το σπιν του ηλεκτρονίου, έως το στροβιλισμό των κυκλώνων, τυφώνων και γαλαξιών, σε κάθε σχηματισμό στο Σύμπαν.
(ΠΗΓΕΣ:
1. βιβλία όπως:
-Ian Stewart –Οι μυστικοί αριθμοί, 2003, εκδ Τραυλός
-Φρατερλαντ, Η περιπέτεια των πολλών διαστάσεων,2000, εκδ. Τραυλός
2. ιστοσελίδες όπως:
-http://science.howstuffworks.com/life/evolution/fibonacci-nature1.htm
-http://apod.nasa.gov/apod/image/m51_hall.gif )
ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ, ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ, ΛΑΜΒΑΝΟΥΜΕ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΟΥΜΕ, ΕΔΩ:
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου