Στα μαθηματικά υπάρχει Θεός

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια, τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή.

Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί τους φιλοσόφους και τους θεολόγους εδώ και δεκάδες αιώνες. 

Ξαφνικά, πριν από λίγους μήνες, εμφανίστηκε η είδηση ότι δύο ευρωπαίοι μαθηματικοί, χρησιμοποιώντας έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή και τη σχετική θεωρία του αυστριακού μαθηματικού Κουρτ Γκέντελ, κατάφεραν να αποδείξουν μαθηματικά την ύπαρξη του Θεού! 

Το τι ακριβώς απέδειξαν και με ποιον τρόπο, σχετίζεται άμεσα με την κατανόηση της Μαθηματικής Λογικής και των κανόνων που τη διέπουν.

Το θεώρημα του Θεού

Λίγο πριν από τον θάνατό του, ο μεγάλος αυστριακός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel), δημοσιοποίησε μια μαθηματική απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού την οποία επεξεργαζόταν επί 30 χρόνια. 

Η απόδειξη αυτή βασίζεται στη σύγχρονη αξιωματική θεμελίωση των Μαθηματικών, η οποία με τη σειρά της αποτελεί συνέχεια της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης και της Γεωμετρίας του Ευκλείδη. 

Σε αυτόν τον τρόπο θεμελίωσης ξεκινάμε με τη διατύπωση αξιωμάτων, δηλαδή υποθέσεων που δεν αποδεικνύονται αλλά φαίνονται προφανείς. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των αξιωμάτων και της Μαθηματικής Λογικής, μπορούμε να αποδείξουμε θεωρήματα και να οικοδομήσουμε μια ολόκληρη θεωρία. 

Για παράδειγμα, ένα από τα πέντε αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι το ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Ο Γκέντελ προσπάθησε να «αποδείξει» την ύπαρξη του Θεού ως ένα θεώρημα, ξεκινώντας από ένα σύνολο πέντε αξιωμάτων που φαίνονται «προφανή» στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής.

Η «απόδειξη» αυτή φάνηκε εξαρχής ότι είχε δύο αδύνατα σημεία. 

Πρώτον, είναι άραγε τα αξιώματα όντως προφανή και, δεύτερον, είναι άραγε συμβατά μεταξύ τους ώστε να μην έχουν κρυφές ασυνέπειες; 

Για το πρώτο, δεν μπορούμε να κάνουμε και πολλά πράγματα, αφού τα αξιώματα στα Μαθηματικά μπορεί να φαίνονται «λογικά», αλλά κατά τα άλλα είναι αυθαίρετα, οπότε ο Θεός υπάρχει, αν τα αξιώματα αυτά αληθεύουν. 

Το δεύτερο όμως αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας για πάνω από 40 χρόνια, επειδή έπρεπε να αποδειχθεί ότι τα πέντε αυτά αξιώματα, δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και άρα είναι αυτοσυνεπή.

Το κατόρθωμα των δύο ευρωπαίων μαθηματικών, του Γερμανού Κρίστοφ Μπεντζμίλερ (Christoph Benzmüller) και του Αυστριακού Μπρούνο Βολτσενλόγκελ Παλέο (Bruno Woltzenlogel Paleo), ήταν ότι κατάφεραν να αναπαραστήσουν τα αξιώματα του Γκέντελ και τους συλλογισμούς του με μαθηματικά σύμβολα. 

Στη συνέχεια, με τη βοήθεια εξειδικευμένου λογισμικού που χειρίζεται έννοιες λογικής σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, μπόρεσαν αφενός μεν να διαπιστώσουν ότι τα αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και αφετέρου να επιβεβαιώσουν την απόδειξη του θεωρήματος.

Ιδέα με αρχαίες βάσεις

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι, πέρα από το καθαρά μαθηματικό μέρος, η βάση της απόδειξης του Γκέντελ περί της υπάρξεως του Θεού δεν ήταν εντελώς καινούργια αφού έμοιαζε με το επιχείρημα του άγγλου θεολόγου και φιλοσόφου του 11ου αιώνα Ανσέλμου του Καντέρμπουρι, το οποίο, με τη σειρά του, βασίζεται στη μέθοδο της «εις άτοπον απαγωγής» των αρχαίων ελλήνων φιλοσόφων και μαθηματικών. 

Ο συλλογισμός του Ανσέλμου ήταν ο εξής:

1. Ο Θεός είναι η υπέρτατη ύπαρξη.

2. Η ιδέα του Θεού υπάρχει στη σκέψη μας.

3. Μια ύπαρξη που υπάρχει τόσο στη σκέψη, όσο και στην πραγματικότητα, είναι ανώτερη από μια ύπαρξη που υπάρχει μόνο στη σκέψη.

4. Αν ο Θεός υπήρχε μόνο στη σκέψη μας, τότε θα μπορούσαμε να συλλάβουμε την ιδέα μιας ανώτερης ύπαρξης, η οποία υπάρχει και στην πραγματικότητα.

5. Αλλά δεν μπορούμε να φανταστούμε μια ύπαρξη ανώτερη από τον Θεό.

6. Αρα ο Θεός υπάρχει στην πραγματικότητα. 


 Η βασική συνεισφορά του Γκέντελ ήταν η μαθηματική περιγραφή του παραπάνω συλλογισμού και ειδικά των σημείων 3 και 4. Εκεί χρησιμοποίησε την έννοια της πιθανής αλήθειας μιας πρότασης, η οποία επεκτείνει την αριστοτελική λογική που δέχεται ότι μια πρόταση είναι είτε αληθής είτε ψευδής.

1+1 κάνουν 2;
Ο Γκέντελ έγινε διάσημος σε νεαρή ηλικία όταν διατύπωσε το περίφημο «θεώρημα της μη πληρότητας». Συνέπεια του θεωρήματος αυτού είναι ότι, στο πλαίσιο της «Απλής Αριθμητικής» των ακεραίων αριθμών, η οποία βασίζεται σε αξιώματα όπως το γνωστό «1+1=2», υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι δυνατόν να διαπιστώσουμε αν αληθεύουν ή όχι βασιζόμενοι μόνο στα αξιώματα αυτά.

Οι προτάσεις αυτές χαρακτηρίζονται από μια αυτοαναφορά και το πιο γνωστό ανάλογό τους στο πλαίσιο της απλής λογικής είναι το παράδοξο του αρχαίου έλληνα φιλοσόφου Ευβουλίδη, σύμφωνα με το οποίο «αν κάποιος παραδεχθεί ότι ψεύδεται, αυτό που λέει είναι αλήθεια ή ψέμα;». Η πρόταση αυτή οδηγεί σε φαύλο κύκλο, αφού αν η πρόταση είναι αληθής συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας ψεύδεται ενώ αν η πρόταση είναι ψευδής συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας λέει την αλήθεια.

Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ είχε σοβαρότατες συνέπειες στη θεμελίωση των Μαθηματικών με βάση την αξιωματική μέθοδο, η οποία στη δεκαετία του 1920 φαινόταν ότι θα κατάφερνε να ενοποιήσει όλους τους κλάδους αυτής της επιστήμης σε ένα ενιαίο οικοδόμημα. 

Παράλληλα όμως υπήρξε ο λόγος που του προσφέρθηκε το 1940 μια θέση στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών του Πρίνστον, όπου και παρέμεινε ως καθηγητής ως τον θάνατό του το 1978. Η συνεισφορά του Γκέντελ στη θεμελίωση της Μαθηματικής Λογικής αναγνωρίστηκε επανειλημμένως, με σημαντικότερο κατά τη γνώμη μου το βραβείο Αϊνστάιν του Ινστιτούτου που του απονεμήθηκε το 1951 από τον ίδιο τον Αϊνστάιν, ο οποίος ήταν συνάδελφός του σε αυτό το ίδρυμα και στενός φίλος του. .

Χάρης Βάρβογλης καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ

 πηγή-physics4u

Διαβάστε περισσότερα... »

Ν. Λυγερός: Τελειότητα και πληρότητα

        

Πολύ συχνά θεωρούμε ότι αυτός που είναι ευτυχισμένος, είναι αυτός που είναι πλήρης. 

Τα μαθηματικά έχουν λύσει αυτό το πρόβλημα από το 1931, δεν υπάρχει πληρότητα. Είναι μάλιστα το θεώρημα της μη πληρότητας.  

Το άλλο που λέμε πολύ συχνά είναι ότι "εμείς είμαστε άνθρωποι και δεν είμαστε τέλειοι". Μα δεν λέει κανένας ότι είμαστε τέλειοι, αλλά γιατί να θεωρήσουμε ότι οι άνθρωποι δεν μπορούν να παράγουν τελειότητα; 

Άρα σίγουρα ο Αρχιμήδης δεν ήταν τέλειος, αλλά ότι βρήκε το π, αυτό είναι τέλειο και δεν μπορούμε να πούμε τίποτα άλλο. Η ιδέα λοιπόν είναι όταν συνειδητοποιούμε ότι δεν είμαστε τίποτα, μπορούμε όμως να παράγουμε ένα έργο. Πώς; Ποιο είναι το σχήμα; Το σχήμα είναι πάρα πολύ απλό, έχει σχέση με το ψηφιδωτό. 

Όταν έχετε μια ψηφίδα μόνη της είναι μονόχρωμη. Όταν βάλετε πολλές ψηφίδες μονόχρωμες, όλες δημιουργούν ένα ψηφιδωτό το οποίο είναι πολύχρωμο. Άμα ρωτήσετε σε κάθε ψηφίδα ποιος έχει πολυχρωμία; Κανένας. Είναι μόνο και μόνο λόγω τοποθέτησης μέσα στον χώρο, και στο χρόνο στην συνέχεια, που δημιουργείται κάτι που είναι πολύχρωμο. Το οποίο δεν υπήρχε στην οντότητα σε επίπεδο μονάδας. 

Αυτό σημαίνει τι. Είναι ακριβώς όπως το έκανε και ο Leibniz όταν μίλαγε για τη μοναδολογία. Η μονάδα μερικές φορές είναι τόσο σημαντική που δεν καταλαβαίνουμε κάτι πάρα πολύ απλό, ότι μπορεί η δυάδα, η τριάδα κλπ., να έχουν ιδιότητες που δεν μπορεί να έχει η μονάδα. Άρα όταν δίνουμε μεγάλη σημασία στην μονάδα και θεωρούμε ότι αυτό είναι η πανάκεια, είναι σίγουρα μερικές ιδιότητες που δεν υπάρχουν πια και δεν έχουν νόημα.

http://lygeros.org/articles?n=15990&l=gr

πηγή-gerasimos-politis 

Διαβάστε περισσότερα... »

Το θεώρημα της μη πληρότητας και φιλοσοφικές προεκτάσεις

Για να εκτιμηθεί ο αντίκτυπος του θεωρήματος της μη πληρότητας του Godel, είναι κρίσιμο να καταλάβουμε πώς τα μαθηματικά ήταν αντιληπτά την περίοδο που αποδείχθηκε. Μετά από πολλούς αιώνες συνύπαρξης υπό ίσους όρους ασαφών διαισθητικών αντιλήψεων και ακριβούς λογικής, τα μαθηματικά στο τέλος του19ου αιώνα άρχισαν να αποσαφηνίζονται.

  

Επινοήθηκαν τα αποκαλούμενα τυπικά συστήματα. Στα τυπικά συστήματα τα θεωρήματα, με χρήση αυστηρών κανόνων, βλαστάνουν από τα αξιώματα όπως τα κλαδιά από ένα δέντρο. Αυτή η διαδικασία έπρεπε να αρχίσει από κάπου. Και τα αξιώματα ήταν αυτοί οι αρχέγονοι σπόροι από τους οποίους όλα τα άλλα αναπήδησαν.

Η δύναμη αυτού του μηχανιστικού οράματος των μαθηματικών ήταν ότι εξάλειπτε την ανάγκη για τη σκέψη ή την κρίση. Εφ' όσον τα αξιώματα ήταν σωστά και εφ' όσον οι κανόνες με τους οποίους γινόταν η χρήση τους διατηρούσαν την αλήθεια, τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να εκτροχιαστούν σε αναλήθειες. 

Η αλήθεια ήταν εξασφαλισμένη μέσω μιας αυτόματης θεωρητικής μεθοδολογίας. Ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς στόχους ήταν να μειωθεί η όλη θεωρία αριθμών σε ένα τελικό τυπικό σύστημα. 

Όπως στη γεωμετρία του Ευκλείδη, ένα τέτοιο σύστημα θα άρχιζε με μερικά απλά αξιώματα που είναι σχεδόν αναμφισβήτητα, και θα παρείχε τα θεωρήματα με έναν μηχανικό τρόπο. Η ιδέα ήταν ότι αυτό το σύστημα θα εμπεριείχε κάθε δήλωση που θα μπορούσαμε να κάνουμε για τους φυσικούς αριθμούς. 

Έτσι εάν κάναμε τη δήλωση «κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από 2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων» θα ήμασταν σε θέση να αποδείξουμε αυστηρά, από τα αξιώματα, είτε ότι είναι αληθής είτε ότι είναι ψευδής. Οι λέξεις «αληθές» και «ψευδές» θα γίνονταν συνώνυμα των «αποδείξιμο» και «διαψεύσιμο» αντίστοιχα, μέσα στο σύστημα αυτό. Το Principia Mathematica των Russell και Whitehead ήταν η διασημότερη προσπάθεια να βρεθεί ένα τέτοιο σύστημα.

Το θεώρημα του Godel κατέρριψε την ελπίδα αυτήν εντελώς. Δε βρήκε απλά μια ρωγμή στο συλλογισμό των Russell και Whitehead, η οποία πιθανώς θα μπορούσε να επιδιορθωθεί. Έδειξε ότι ο ολόκληρος στόχος είναι ανεπίτευκτος!

Πιο συγκεκριμένα, ο Godel έδειξε ότι σε οποιοδήποτε τυπικό σύστημα, υπάρχει πάντα μια δήλωση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αληθινή, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί στο σύστημα. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά δεν θα είναι ποτέ το αυστηρό κι ακλόνητο σύστημα που οι μαθηματικοί ονειρεύονταν επί χιλιετίες. 

Αλλά ας προσεγγίσουμε λίγο τον συλλογισμό της αποδεικτικής του. Το σύνολο συμβόλων με το οποίο οι δηλώσεις στα τυπικά συστήματα γράφονται συμπεριλάμβαναν συνήθως, χάριν σαφήνειας, τους αριθμούς, πρόσημα, παρενθέσεις και ούτω καθ' εξής. Αυτά όμως δεν είναι απαραίτητα. 

Οι δηλώσεις θα μπορούσαν εξίσου καλά να χτιστούν πάνω σε εικόνες που αντιπροσωπεύουν δαμάσκηνα, πορτοκάλια, ή οποιοδήποτε εντελώς αυθαίρετο σύνολο, εφ' όσον κάθε δαμάσκηνο εμφανιζόταν πάντα στις κατάλληλες θέσεις και μόνο σε αυτές. Έγινε προφανές ότι οι μαθηματικές δηλώσεις σε τέτοια συστήματα δεν ήταν κάτι περισσότερο από ακριβή δομημένα σχέδια φτιαγμένα επάνω σε αυθαίρετα σύμβολα.

Σύντομα μερικές οξυδερκείς ψυχές, με πρώτον τον Godel, συνειδητοποίησαν ότι αυτός ο τρόπος σκέψης για τα πράγματα άνοιγε έναν ολοκαίνουργιο κλάδο των μαθηματικών και συγκεκριμένα, τα μετα-μαθηματικά. Οι γνώριμη μέθοδος της μαθηματικής ανάλυσης θα μπορούσε να εφαρμοστεί πάνω στην ίδια τη διαδικασία που διαμόρφωσε την ουσία των τυπικών συστημάτων. Γιατί τα μαθηματικά δεν ήταν παρά ένα «υπόθεμα», το αρχικό παράδειγμα, πάνω στα οποία χτίστηκαν. Έτσι τα μαθηματικά αρχίζουν να μοιάζουν σαν ένα φίδι που τρώει τον εαυτό του.

Ο Godel κατέδειξε ότι παρουσιάζονται παράξενες συνέπειες, όταν τα μαθηματικά εξετάζουν τον εαυτό τους. Ένας απλός τρόπος για να γίνει αυτό σαφές είναι να φανταστεί κανείς ότι σε κάποιο πλανήτη (π.χ. στον Άρη), όλα τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για να γράψουν μαθηματικά βιβλία τυχαίνει -από κάποια καταπληκτική σύμπτωση- να μοιάσουν με τους αριθμούς μας από 0 μέχρι 9. 

Κατά συνέπεια όταν συζητούν Αριανοί στα εγχειρίδιά τους για μια συγκεκριμένη διάσημη ανακάλυψη που θα εκφράζαμε ως: «Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί», αυτό που γράφουν καταλήγει να μοιάζει με αυτό: «8445329844508787863070005 766619463864545067111». Σε μας μοιάζει με έναν αριθμό 46 ψηφίων. Στους Αριανούς, εντούτοις, δεν είναι καθόλου ένας αριθμός αλλά μια δήλωση. Δηλώνει την απειρότητα των πρώτων αριθμών με τη σαφήνεια που το κάνουν οι δικές μας τέσσερις λέξεις.

Τώρα ας φανταστούμε ότι θελήσαμε να μιλήσουμε για τη γενική φύση όλων των θεωρημάτων των μαθηματικών. Εάν κοιτάξουμε στα εγχειρίδια των Αριανών, όλα τα ανάλογα θεωρήματα θα φαίνονται στα μάτια μας σαν απλοί αριθμοί. Και έτσι θα μπορούσαμε να αναπτύξουμε μια επιμελημένη θεωρία για το ποιοι αριθμοί θα μπορούσαν να εμφανιστούν στα Αριανά εγχειρίδια και ποιοι αριθμοί δεν θα εμφανίζονταν ποτέ. Φυσικά δεν θα μιλούσαμε πραγματικά για τους αριθμούς, αλλά μάλλον για τις σειρές των συμβόλων που σε μας μοιάζουν με αριθμούς. Και όμως, μήπως θα ήταν ευκολότερο για μας να ξεχάσουμε τι σημαίνουν αυτές οι σειρές των συμβόλων στους Αριανούς και να τους αντιληφθούμε ως απλούς αριθμούς;

Ο Godel χρησιμοποίησε μια τέτοια απλή μετατόπιση της προοπτικής. Το τέχνασμά του είναι να φανταστούμε ότι μελετούμε αυτό που θα ονομάζαμε «Αριανικής-παραγωγής αριθμοί» (εκείνους τους αριθμούς που είναι στην πραγματικότητα θεωρήματα στα Αριανά εγχειρίδια), και να υποβάλλουμε ερωτήσεις όπως, «είναι ή δεν είναι ο αριθμός 8030974 Αριανικής παραγωγής;» Δηλαδή, «η δήλωση «8030974» θα εμφανιστεί ή όχι σε ένα Αριανό εγχειρίδιο;».

Ο Godel, αφού σκέφτηκε πολύ προσεκτικά αυτό το μάλλον σουρεαλιστικό σενάριο, σύντομα συνειδητοποίησε (κι αυτό το σημείο είναι κρίσιμο) ότι η ιδιότητα του να είναι ένας αριθμός «Αριανικής παραγωγής» δεν ήταν και τόσο διαφορετική από γνωστές έννοιες όπως ο «πρώτος αριθμός» «περιττός αριθμός» και ούτω καθ' εξής. Το σύνολο των «Αριανικής παραγωγής» αριθμών, δηλαδή, διαφέρει ουσιωδώς από ένα σύνολο τυχαίων αριθμών. 

Κατά συνέπεια γήινοι θεωρητικοί μελετητές των αριθμών θα μπορούσαν, με τα τυποποιημένα εργαλεία τους, να αντιμετωπίσουν ερωτήσεις όπως, παραδείγματος χάριν, «Ποιοι αριθμοί είναι αριθμοί «Αριανικής παραγωγής», και ποιοι δεν είναι;» ή «υπάρχουν απείρως πολλοί «μη Αριανικής παραγωγής» αριθμοί;» Τα προηγμένα μαθηματικά εγχειρίδια – τόσο στη γη, όσο και στον Άρη- θα μπορούσαν να έχουν ολόκληρα τα κεφάλαια για τους αριθμούς «Αριανικής παραγωγής». 

Και έτσι, σε μια από τις πιο ευφυείς συλλήψεις στην ιστορία των μαθηματικών, ο Godel επινόησε μια εκπληκτική δήλωση που έλεγε απλά «ο Χ δεν είναι ένας αριθμός «Αριανικής παραγωγής» » όπου το Χ είναι ο ακριβής αριθμός που διαβάζουμε όταν η δήλωση «ο Χ δεν είναι ένας αριθμός «Αριανικής παραγωγής» » είναι γραμμένη με την Αριανή σημειολογία.  

Ας το σκεφτούμε λίγο. Γραμμένη με την Αριανή σημειολογία, η δήλωση «Χ δεν είναι ένας αριθμός «Αριανικής παραγωγής»» θα μοιάζει σε μας σαν μια τεράστια σειρά των ψηφίων. Αλλά αυτή η σειρά (Αριανικών) ψηφίων είναι η δική μας σημειολογία του αριθμού Χ (για την οποία η ίδια η δήλωση μιλά). Αυτές οι απίθανες περιπλοκές ήταν η ειδικότητα του Godel.

Αντιλαμβανόμενος έτσι τα θεωρήματα ως σχέδια συμβόλων, ο Godel ανακάλυψε ότι είναι δυνατό για μια δήλωση σε ένα τυπικό σύστημα όχι μόνο να μιλήσει για το ίδιο, αλλά και για να αρνηθεί την ίδια την θεωρητική του μεθοδολογία. Οι συνέπειες αυτής της απροσδόκητης «εμπλοκής» που κρύβεται μέσα στα μαθηματικά ήταν καταλυτικές και - παραδόξως - είναι πολύ λυπηρές για τους Αριανούς. Γιατί λυπηρές; Επειδή οι Αριανοί –όπως και οι Russell και Whitehead - είχαν ελπίσει, όπως προανέφερα, ότι το τυπικό τους σύστημα θα περιελάμβανε όλες τις αληθινές δηλώσεις των μαθηματικών. Εάν η δήλωση Godel είναι αληθινή, δεν είναι ένα θεώρημα που βρίσκεται στα εγχειρίδιά τους και δεν θα εμφανιστεί ποτέ- αφού λέει ότι δεν θα εμφανιστεί! Εάν εμφανιζόταν στα εγχειρίδιά τους, αυτό που λέει για τον εαυτό του θα ήταν λανθασμένο. Τα μαθηματικά τους εγχειρίδια θα αναγνώριζαν αναλήθειες ως αληθινές.

Το αποτέλεσμα όλων αυτών είναι ότι ο πολυπόθητος στόχος της διαμόρφωσης ενός τέλειου τυπικού συστήματος αποκαλύπτεται ότι είναι χιμαιρικός. Όλα τα τυπικά συστήματα - τουλάχιστον αυτά που είναι αρκετά ισχυρά να είναι ενδιαφέροντα - αποδεικνύονται ελλιπή επειδή είναι σε θέση να διατυπώσουν δηλώσεις που λένε για το εαυτό τους ότι δεν μπορούν να αποδειχθούν. 

Αυτό, εν συντομία, εννοούμε όταν λέμε ότι ο Godel το 1931 κατέδειξε τη «μη πληρότητα των μαθηματικών». Δεν είναι ακριβώς τα μαθηματικά τα ίδια που δεν έχουν πληρότητα, αλλά οποιοδήποτε τυπικό σύστημα που προσπαθεί να συλλάβει όλες τις αλήθειες των μαθηματικών σε πεπερασμένο σύνολό αξιωμάτων και κανόνων. Ίσως πλέον αυτό να μη μας κλονίζει τόσο, αλλά για τους μαθηματικούς στη δεκαετία του '30, ανετράπη ολόκληρη η κοσμοθεώρησή τους και τα μαθηματικά δεν θα ήταν ποτέ τα ίδια. 

Το άρθρο του 1931 του Godel έκανε άλλα πράγματα: εφηύρε τη θεωρία των «recursive functions», η οποία είναι σήμερα η βάση μιας σημαντικής θεωρίας προγραμματισμού ηλεκτρονικών υπολογιστών. Πράγματι, στην καρδιά του άρθρου του Godel βρίσκεται αυτό που μπορεί να δει κανείς ως επιμελημένο πρόγραμμα υπολογιστών παραγωγής «Αριανικών» αριθμών. Και αυτό το πρόγραμμα γράφεται σε έναν φορμαλισμό που μοιάζει έντονα με αυτόν τον το γλωσσικό προγραμματισμό, ο οποίος εφευρέθη 30 χρόνια αργότερα.

Το θεώρημα του Godel έχει χρησιμοποιηθεί για να υποστηρίξει ότι ένας υπολογιστής δεν μπορεί ποτέ να γίνει τόσο έξυπνος όσο ένας άνθρωπος επειδή η έκταση της γνώσης του πρώτου περιορίζεται από ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων, ενώ οι άνθρωποι μπορούν να ανακαλύψουν τα απροσδόκητες αλήθειες… Παίζει ρόλο στις σύγχρονες γλωσσικές θεωρίες, οι οποίες υπογραμμίζουν τη δύναμη της γλώσσας να βρίσκει νέους τρόπους να εκφραστούν οι ιδέες.

Eχει επίσης χρησιμοποιηθεί για να υποστηρίξει ότι δεν θα γίνουμε ποτέ κατανοητοί από τον εαυτό μας, δεδομένου ότι το μυαλό σας, είναι κι αυτό ένα κλειστό σύστημα. Όπως δεν μπορούμε να δούμε τα πρόσωπά μας με τα μάτια μας, δεν μπορούμε να καθρεπτίσουμε πλήρως τις διανοητικές μας δομές στον ίδιο μας τον εγκέφαλο.

Ένα άλλο παραπλήσιο πόρισμα του θεωρήματος είναι πως δεν μπορούμε ποτέ να είμαστε βέβαιοι πως δεν έχουμε παραφρονήσει. Ο παράφρων ερμηνεύει τον κόσμο μέσω της (παραδόξως) συνεπούς λογικής του. Πώς μπορούμε να αποφανθούμε εάν η λογική μας είναι παράδοξη ή όχι, δεδομένου ότι έχουμε μόνο τη λογική μας για να το κρίνουμε; Αναφέρω εδώ και το δεύτερο θεώρημα Godel, το οποίο καταδεικνύει ότι τα μόνα αριθμητικά τυπικά συστήματα που είναι ασυνεπή είναι αυτά που βεβαιώνουν τη συνέπειά τους. Αυτό μοιάζει να υπαινίσσεται πως όποιος πιστεύει με βεβαιότητα πως δεν είναι παράφρων, σίγουρα θα είναι…

Όμως η πιο σοβαρή συνέπεια του θεωρήματος της μη πληρότητας στην φιλοσοφία είναι η εξής: Αν και το θεώρημα μπορεί να δηλωθεί και να αποδειχθεί με έναν αυστηρά μαθηματικό τρόπο, αυτό που φαίνεται να λέει είναι ότι η λογική σκέψη δεν μπορεί ποτέ να διεισδύσει στην τελική αλήθεια… Προφανώς, για τους σπουδαστές της λογικής, η πλήρης κατανόηση του θεωρήματος είναι μια ανατρεπτική εμπειρία. Κι ίσως το να καταλάβει κανείς την ουσιαστικά αδιέξοδη φύση ενός λαβυρίνθου αποτελεί και ενός είδους απελευθέρωσης από αυτόν.

(Το κείμενο αυτό είναι μια εργασία του Δημήτρη Μουρούλη βασισμένη στο άρθρο του Douglas Hofstadter των Times: Kurt Godel: He turned the lens of mathematics on itself and hit upon his famous "incompleteness theorem" driving a stake through the heart of formalism).

πηγή-dimitris.webgalaxy.gr 

Διαβάστε περισσότερα... »