με άλλα λόγια
«είναι η κβαντομηχανική μια πλήρης θεωρία» ή εκκρεμεί η συμπλήρωσή της μ’ ένα βαθύτερο αιτιοκρατικό υπόστρωμα; (Όπως π.χ. η «συμπλήρωση» της κλασικής θερμοδυναμικής με την κινητική θεωρία και τη στατιστική μηχανική).
Είναι γνωστό ότι ο Einstein πίστευε ότι οι πιθανότητες που υπεισέρχονται στην κβαντομηχανική δεν είναι θεμελιώδεις. Είναι αποτέλεσμα της ατελούς μας γνώσης. Η κβαντομηχανική παρά τις αναμφισβήτητες επιτυχίες της – σύμφωνα πάντα με τον Einstein – δεν πρέπει να θεωρηθεί ως μια τελική θεωρία.
Θα πρέπει να συμπληρωθεί πιθανόν με την εισαγωγή κάποιων κρυμμένων μεταβλητώντων οποίων η γνώση θα μας επιτρέψει να προβλέπουμε χωρίς απροσδιοριστία το αποτέλεσμα κάθε κβαντομηχανικού πειράματος.
Ο φημισμένος φυσικός πίστευε ότι κάποτε θα επιτευχθεί η «απο-κβαντομηχανοποίηση» του κόσμου και ο ντετερμινισμός θα επιστρέψει.
Αντιμετώπιζε τα φαινόμενα της κβαντομηχανικής σαν την τυχαία ρίψη ενός κέρματος. Η αδυναμία μας να προβλέψουμε αν θα έρθει κορώνα ή γράμματα οφείλεται στο ότι δεν γνωρίζουμε όλους τους παράγοντες που επηρεάζουν την κίνηση του κέρματος (τρόπος ρίψης, διακυμάνσεις πυκνότητας του αέρα, ανωμαλίες εδάφους κλπ…).
Αν όλοι οι παράγοντες ήταν γνωστοί και διαθέταμε και έναν υπερυπολογιστή που θα έλυνε τις κλασικές εξισώσεις κίνησης, τότε θα μπορούσαμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα της ρίψης.
Με τον ίδιο τρόπο αντιμετώπιζε και ένα κβαντομηχανικό φαινόμενο, όπως την πιθανότητα διέλευσης ενός σωματιδίου από ένα κλασικά απαγορευμένο φράγμα δυναμικού.
Η σχολή της Κοπεγχάγης (Bohr et al) υποστήριζε ότι οι κβαντομηχανικές πιθανότητες είναι θεμελιώδεις και ότι η φύση είναι εγγενώς πιθανοκρατική. Το γιατί ένα σωματίδιο περνάει ή όχι ένα φράγμα δυναμικού δεν οφείλεται σε κάτι που δεν γνωρίζουμε. Είναι στη φύση των πραγμάτων. Το τι θα κάνει το σωματίδιο σε κάθε συγκεκριμένο πείραμα δεν το ξέρει ούτε ο …Θεός.
(Γι αυτό ο Einstein ωρυόταν ότι ο Θεός δεν παίζει ζάρια. Μετά από χρόνια ο Hawking ισχυρίστηκε ότι, Θεός όχι μόνο παίζει ζάρια, αλλά μερικές φορές τα ρίχνει και σε μέρη που δεν μπορούμε να τα βρούμε).
Tο 1935, ο Einstein εξαπολύει την τελική του επίθεση εναντίον της κβαντομηχανικής διατυπώνοντας
το παράδοξο EPR (Einstein, Podolsky, Rosen) – [Physical Review 47, 777 (1935)].
"κλίκ" επι των κειμένων, για μεγέθυνση
Σύμφωνα με το πείραμα σκέψης που πρότειναν οι Einstein-Podolsky-Rosen: έστω ένα σωματίδιο με σπιν μηδέν διασπάται σε δυο σωματίδια που υποχρεωτικά θα έχουν συνολικό σπιν μηδέν, και λόγω των νόμων διατήρησης θα πρέπει συνεχώς να είναι μηδέν. Έτσι αν το ένα σωματίδιο έχει σπιν «πάνω» ως προς μια τυχούσα κατεύθυνση, τότε υποχρεωτικά το σπιν του δεύτερου σωματιδίου θα είναι «κάτω».
Για την κβαντομηχανική το σπιν του κάθε σωματιδίου είναι απροσδιόριστο. Όμως όταν το σπιν του ενός σωματιδίου σε μια τυχούσα κατεύθυνση μετρηθεί και βρεθεί να έχει την μία από τις δυνατές τιμές του, τότε το σπιν του άλλου σωματιδίου – που ενδεχομένως βρίσκεται έτη φωτός μακριά – θα «αποκτήσει» αμέσως την αντίθετη κατεύθυνση κατά μήκος του ίδιου άξονα.
Συνεπώς το φάντασμα της δράσης από απόσταση – της «μη τοπικότητας» – επανεμφανίζεται στη φυσική!
Όμως ποιο είναι το παράδοξο κατά τον Einstein;
• Αν στο σωματίδιο 1 μετρήσουμε το σπιν του κατά την κατεύθυνση χ, τότε αυτομάτως υποχρεώνουμε και το σωματίδιο 2 να έχει επίσης καθορισμένη (και αντιθέτου προσήμου) προβολή σπιν κατά τον ίδιο άξονα.
• Αν παράλληλα μετρήσουμε το σπιν του σωματιδίου 2 κατά τον άξονα y, τότε και το σωματίδιο 1 θα υποχρεωθεί κι αυτό να αποκτήσει καθορισμένη (και ετερόσημη) προβολή σπιν κατά τον άξονα y.
• Έτσι, στο τέλος αυτής της διπλής μέτρησης, και τα δύο σωματίδια θα έχουν καθορισμένες προβολές σπιν σε δυο διαφορετικούς άξονες.
Έτσι η αρχή της αβεβαιότητας έχει παραβιαστεί.
H αρχική απάντηση του Bohr ήταν αρκετά «μπερδεμένη» με αποτέλεσμα οι ΕPR να κερδίσουν τις εντυπώσεις.
Μια καλύτερη απάντηση στο παράδοξο EPR είναι η εξής:
Σύμφωνα με το μετρητικό αξίωμα της Κβαντομηχανικής, βλέπε σχήμα:
Η μέτρηση προκαλεί μια ακαριαία κατάρρευση της μετρούμενης κυματοσυνάρτησης στη μορφή της ιδιοσυνάρτησης ψn που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή που μετρήθηκε.
• Επομένως το παράδοξο EPR δεν υφίσταται διότι έστω και ελάχιστα να έχει προηγηθεί η μέτρηση του σπιν του σωματιδίου 1 – και ας πούμε ότι έδωσε σπιν «πάνω» – τότε η κυματοσυνάρτηση του συστήματος
θα καταρρεύσει ακαριαία στη μορφή ψ+(1) ψ_(2)
oπότε τα σπιν των δυο σωματιδίων είναι πλήρως καθορισμένα απ’ εκεί και πέρα και ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. (Η μέτρηση του ενός δεν επηρεάζει πλέον τη μέτρηση του άλλου αφού η επαλληλία έχει καταστραφεί από τη μέτρηση).
EΠΟΜΕΝΩΣ το «παράδοξο» EPR – και το στοιχείο της μη τοπικότητας που έφερε στην επιφάνεια – ανάγεται πλήρως στο κεντρικό παράδοξο της κβαντομηχανικής που είναι το αξίωμα της μέτρησης: H στιγμιαία κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης.
Να ένα ακραίο παράδειγμα:
Η ανίχνευση του σωματιδίου από έναν μετρητή πάνω στη Γη προκαλεί στιγμιαίο μηδενισμό της κυματοσυνάρτησης σε περιοχές που μπορεί να απέχουν μέχρι και έτη φωτός από τη γη.
Σύμφωνα με τη σχολή της Κοπεγχάγης αυτή η ακραία μη τοπικότητα της κβαντομηχανικής θα πρέπει να γίνει δεκτή – όπως και ο πιθανοκρατικός της χαρακτήρας – ως ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό του φυσικού κόσμου.
Η θεωρία των κρυμμένων μεταβλητών ξανά στο προσκήνιο
Οι πολέμιοι της κβαντομηχανικής επέμειναν ότι μετά το «παράδοξο EPR» μια θεωρία κρυμμένων μεταβλητών – που θα «συμπληρώσει» τη συνήθη κβαντομηχανική – είναι περισσότερο παρά ποτέ αναγκαία. Μπορεί να λύσει ταυτόχρονα τόσο το πρόβλημα των κβαντικών πιθανοτήτων όσο και το πρόβλημα της μη τοπικότητας.
Στο πρόβλημα EPR – παραδείγματος χάριν – το σπιν των σωματιδίων δεν καθορίζεται από τη μετρητική συσκευή, τη στιγμή της μέτρησης, τη στιγμή της μέτρησης, αλλά έχει προκαθοριστεί από το σημείο εκπομπής τους με βάση τις τιμές που «δόθηκαν» εκεί στις κρυμμένες μεταβλητές του συστήματος.
Άραγε, μπορεί να βρεθεί ένας τρόπος να ελεγχθεί πειραματικά αν όντως υπάρχουν κρυμμένες μεταβλητές ή όχι.
Αν ένας τέτοιος τρόπος ελέγχου δεν μπορεί να βρεθεί, τότε το ερώτημα του αν υπάρχουν τέτοιες μεταβλητές – δηλαδή αν παίζει ζάρια ο θεός – θα πρέπει να θεωρηθεί ωςμεταφυσικό και να παραπεμφθεί στα αντίστοιχα πανεπιστημιακά τμήματα (Όχι πάντως της φυσικής!)
Χάρις στην αξιοθαύμαστη επιμονή μιας πολύ ολιγάριθμης ομάδας φυσικών – με πρωτεργάτη τον David Bohm – το ζήτημα θα κρατηθεί ανοικτό μέχρις ότου εμφανιστεί ο κατάλληλος άνθρωπος για να το λύσει:
Ποιο θα ήταν το καταλληλότερο φυσικό σύστημα στο οποίο θα μπορούσε να αναζητηθεί μια μετρήσιμη διαφορά μεταξύ κβαντομηχανικής και μιας οποιασδήποτε θεωρίας κρυμμένων μεταβλητών;
Και όταν αυτό το σύστημα βρεθεί, ποιο θα ήταν το κατάλληλο φυσικό μέγεθος που θα μπορούσε να το μετρήσει;
Το καταλληλότερο φυσικό σύστημα για τον αυστηρό έλεγχο της κβαντομηχανικής είναι το σύστημα EPR, δηλαδή ένα σύστημα δυο σωματιδίων με ολικό σπιν μηδέν. Και τουτο διότι:
α) Σ’ αυτό εκδηλώνονται με τον πιο καθαρό τρόπο, οι πιο ακραίες και αμφισβητούμενες πλευρές της κβαντικής θεωρίας.
Θεμελιώδης ιντετερμινισμός – ακραία μη τοπικότητα.
β) Ένα τέτοιο σύστημα δεν είχε υποβληθεί ποτέ σε άμεσο πειραματικό έλεγχο.
Kαι το καταλληλότερο φυσικό μέγεθος που εκφράζει τα ουσιώδη χαρακτηριστικά αυτού του συστήματος είναι ο βαθμός συσχέτισης του προσανατολισμού των δυο σπιν σε δυο αυθαίρετες κατευθύνσεις που είναι γνωστός ως συνάρτηση συσχέτισης C(θ):
Έστω ότι έχουμε Ν αποσυνθέσεις από παρόμοια σωματίδια με σπιν μηδέν. Τότε ένας παρατηρητής Α μετράει το σπιν του ενός σωματιδίου στην κατεύθυνση a ενώ άλλος παρατηρητής Β μετράει το σπιν δεύτερου σωματιδίου στην κατεύθυνση b.
• Αν θ=0, τότε αν ο ένας παρατηρητής βρίσκει σπιν «πάνω» (+), τότε ο άλλος παρατηρητής υποχρεωτικά θα βρίσκει σπιν «κάτω» (-), έτσι ώστε το συνολικό σπιν του συστήματος να είναι μηδέν. Αν πραγματοποιήθηκαν Ν (≡Ν+-) διασπάσεις τότε η συνάρτηση συσχέτισης θα είναι C(θ)= (-1)(+1)Ν/Ν = -1 (πλήρης αντισυσχέτιση)
• Αν θ=π, τότε αν ο πρώτος παρατηρητής βρίσκει σπιν «πάνω»(+), ο δεύτερος – εφόσον η κατεύθυνση στην οποία μετράει την προβολή του σπιν είναι αντίθετη με του πρώτου παρατηρητή – θα βρίσκει επίσης σπιν «πάνω» (+). Αν πραγματοποιήθηκαν Ν (≡Ν++) διασπάσεις τότε η συνάρτηση συσχέτισης θα είναι C(θ)= (+1)(+1)Ν/Ν = +1 (πλήρης συσχέτιση)
• Στη γενική περίπτωση μιας τυχαίας γωνίας 0≤θ≤π, θα έχουμε έναν αριθμό μετρήσεων Ν++, που θα δίνουν και τα δυο σπιν «πάνω», έναν αριθμό μετρήσεων Ν– που θα δίνουν και τα δυο σπιν «κάτω», Ν+- μετρήσεις στις οποίες ο παρατηρητής Α θα μετράει σπιν «πάνω» και ο παρατηρητής Β σπιν «κάτω» και Ν-+ μετρήσεις όπου ο Α μετράει σπιν «κάτω» και ο Β «πάνω». Έτσι στη γενική περίπτωση θα ισχύει:
Οι προφανείς γενικές ιδιότητες της συνάρτησης συσχέτισης θα είναι
-1≤C(θ)≤+1 , 0≤θ≤π (ή -π≤θ≤π) και C(-θ)= C(θ).
Η συνάρτηση συσχέτισης στην Κβαντομηχανική
Αποδεικνύεται ότι:
όπου σ είναι οι μήτρες του Pauli που περιγράφουν κβαντομηχανικά το σπιν σε μονάδες h/4π
Η συνάρτηση συσχέτισης για μια τυχούσα θεωρία κρυμμένων μεταβλητών
Ι: Το «πρόβλημα του Bell»
Το 1964 ο John Bell θέτει στον εαυτό του το εξής καίριο ερώτημα:
Αφού δεν έχουμε στη διάθεσή μας μια συγκεκριμένη θεωρία κρυμμένων μεταβλητών – ώστε να υπολογίσουμε βάσει αυτής τη συνάρτηση C(θ) και να την συγκρίνουμε με την κβαντομηχανική πρόβλεψη (-cosθ), μήπως μπορούμε να συναγάγουμε κάποιαπεριοριστική συνθήκη που θα πρέπει να ικανοποιεί μια τυχούσα θεωρία κρυμμένων μεταβλητών;
Κι αν βρούμε μια τέτοια περιοριστική συνθήκη τότε το επόμενο βήμα θα είναι να ελέγξουμε αν ικανοποιείται ή όχι από την κβαντομηχανική έκφραση C(θ)=-cosθ.
ΙΙ. … και η λύση του Bell
Το θεώρημα του Bell (χωρίς απόδειξη)
Η συνάρτηση συσχέτησης C(θ) που προέρχεται από μια τυχούσα τοπική θεωρία κρυμμένων μεταβλητών θα πρέπει να ικανοποιεί την ανισότητα:
Επομένως: Αν η κβαντομηχανική συνάρτηση συσχέτισης C(θ)=-cosθ ικανοποιεί την ανισότητα Bell, τότε η ανισότητα αυτή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διακριθεί η κβαντομηχανική από μια θεωρία κρυμμένων μεταβλητών. Αν όμως δεν την ικανοποιεί, τότε … κάναμε διάνα.
Η πειραματική απάντηση στο ζήτημα που έθεσε ο Einstein – αν «παίζει ζάρια ο θεός» – είναι δυνατή.
Το ερώτημα δεν είναι μεταφυσικό!
Ικανοποιεί η κβαντομηχανική συνάρτηση συσχέτισης την ανισότητα του Bell;
Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι η ανισότητα του Bell παραβιάζεται πανηγυρικά από την κβαντομηχανική συνάρτηση συσχέτισης, οπότε η πειραματική διάκριση μεταξύ κβαντομηχανικής και μιας οποιασδήποτε (τοπικής) θεωρίας κρυμμένων μεταβλητών είναι κατ’ αρχήν δυνατή!
Το πείραμα του Aspect
Στο πείραμά του ο Alain Aspect χρησιμοποιεί φωτόνια και μετρητές πόλωσης αντί σπιν, και οι ανισότητες του Bell είναι λίγο διαφορετικές αλλά της ίδιας ακριβώς φύσεως.
Τα πειραματικά αποτελέσματα για τη συνάρτηση συσχέτισης όχι μόνο παραβιάζουν τις ανισότητες Bell, αλλά ακολουθούν ακριβώς τη γωνιακή εξάρτηση που προβλέπει η κβαντομηχανική.
Η πειραματική διάταξη του Alain Aspect
Καμιά θεωρία κρυμμένων μεταβλητών δεν μπορεί να αναπαραγάγει ποτέ την κβαντομηχανική συνάρτηση συσχέτισης.
Καμιά θεωρία κρυμμένων μεταβλητών δεν είναι συμβιβαστή με την κβαντομηχανική.
Τελικά …. ο θεός παίζει ζάρια με τον κόσμο
(και μάλλον είναι …. καλός παίκτης αν κρίνουμε από το αποτέλεσμα)
ΠΗΓΗ: Στέφανος Τραχανάς, “Τελικά παίζει ο θεός ζάρια;“, 9ο Κοινό Συνέδριο Ελλήνων και Κυπρίων Φυσικών, Λευκωσία, 4-6 Φεβρουαρίου 2005)
