Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 325 π.κ.ε. – 265 π.κ.ε.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.κ.ε. – 283 π.κ.ε.). Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας της Γεωμετρίας».
Ο Ευκλείδης κατέχει μια κρίσιμη θέση στην ιστορία της Λογικής και των Μαθηματικών, καθώς είναι ο πρώτος που παράγει ένα αυστηρά δομημένο και συνεκτικό σύστημα προτάσεων (θεωρημάτων και πορισμάτων) με βάση ένα σύνολο ορισμών και 5 μόνο αρχικές αναπόδεικτες προτάσεις (αιτήματα). Κατ’ αυτό το τρόπο περιέλαβε στο σύστημα αυτό και προτάσεις ήδη διατυπωμένες παλαιότερων σημαντικών μαθηματικών, όπως ο Θαλής και ο Εύδοξος.
Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη: Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία. Εκεί, οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και των ακεραίων αριθμών προκύπτουν από ένα σύνολο αξιωμάτων, εμπνέοντας την αξιωματική μέθοδο των μοντέρνων μαθηματικών. Παρ’ ότι πολλά από τα θεωρήματα που περιέχονταν στα Στοιχεία ήταν ήδη γνωστά, ένα από τα επιτεύγματα του Ευκλείδη ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα ενιαίο, λογικά συμπαγές πλαίσιο.
Το έργο του Ευκλείδη ήταν τόσο σημαντικό ώστε η γεωμετρία που περιέγραψε στα Στοιχεία του (η βάση της οποίας είναι: έστω μία ευθεία ε και ένα σημείο Α όχι πάνω σε αυτήν την ευθεία, τότε υπάρχει μόνο μία ευθεία, παράλληλη της ε, που διέρχεται από το Α) ονομάστηκε Ευκλείδεια, ενώ τα Στοιχεία σήμερα θεωρούνται ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά έργα όλων των εποχών. Όταν ο Πτολεμαίος Α΄ του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα Στοιχεία του για να μάθει Γεωμετρία η απάντηση του μεγάλου μαθηματικού ήταν: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία».
Αναφορά, επίσης, στον Ευκλείδη γίνεται και στο Ανθολόγιο του Στοβαίου όπου γράφονται τα ακόλουθα: «Παρ’ Εὐκλείδη τις ἀρξάμενος γεωμετρεῖν, ὡς τὸ πρῶτον θεώρημα ἔμαθεν, ἤρετο τὸν Εὐκλείδη: «Τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι;» καὶ ὁ Εὐκλείδης τὸν παῖδα καλέσας «Δός», ἔφη, «αὐτῷ τριώβολον, ἐπειδὴ δεῖ αὐτῷ ἐξ ὧν μανθάνει κερδαίνειν». Σε ελεύθερη απόδοση: «Κάποιος που είχε αρχίσει να διδάσκεται γεωμετρία δίπλα στον Ευκλείδη, μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα τον ρώτησε: «Τί περισσότερο θα κερδίσω αν τα μάθω όλα αυτά;» Τότε ο Ευκλείδης φώναξε το δούλο του και του είπε: «Δώσε σε αυτόν τρεις οβολούς, διότι έχει ανάγκη να κερδίζει κάτι από ό,τι μαθαίνει».
Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (Στοιχεῖα) είναι μια μαθηματική και γεωμετρική διατριβή που αποτελείται από 13 βιβλία γραμμένα από τον Ευκλείδη στην Αλεξάνδρεια περίπου το 300 π.κ.ε. Περιλαμβάνει μια συλλογή ορισμών, αξιωμάτων και θεωριών που ορίζουν τη μαθηματική σκέψη από τότε. Τα περιεχόμενα καλύπτουν την ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά και την αρχαιοελληνική θεωρία των αριθμών, όπως και ένα αλγεβρικό σύστημα που έγινε γνωστό ως «γεωμετρική άλγεβρα» και το οποίο είναι αρκετά ισχυρό ώστε να επιλύει πολλά αλγεβρικά προβλήματα, όπως αυτό της εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας.
Το όνομα «Στοιχεία» είναι ο πληθυντικός του «στοιχείον». Σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο όρος «στοιχείον» σημαίνει ένα θεώρημα που υπεισέρχεται σε άλλα προβλήματα του κλάδου του και βοηθά να αποδειχθούν πολλά άλλα θεωρήματα. Επειδή η λέξη «στοιχείον» στην αρχαία ελληνική γλώσσα σημαίνει και «γράμμα» υποδηλώνεται ότι τα θεωρήματα των Στοιχείων θα πρέπει να τα αντιλαμβανόμαστε, ως έχοντα την ίδια σχέση με τη γεωμετρία όπως τα γράμματα με τη γλώσσα. Οι μεταγενέστεροι σχολιαστές αποδίνουν μια ελαφρώς διαφορετική σημασία στον όρο, τονίζοντας το πώς οι προτάσεις προχωρούν με μικρά βήματα και «χτίζουν» επάνω σε προηγούμενες προτάσεις με μια καλώς καθορισμένη σειρά.
Τα Στοιχεία θεωρούνται η παλαιότερη πραγματεία και είναι η παλαιότερη μαθηματική θεωρία. Αποδείχθηκε βασική για τη δημιουργία και την εξέλιξη της λογικής και της σύγχρονης επιστήμης.
Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά με την ζωή του Ευκλείδη εκτός από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό μέλος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Έγινε γνωστός στην πόλη της Παλλάδας για τις μαθηματικές του εργασίες και γι’ αυτό προσκλήθηκε από τον Πτολεμαίο Α΄ στην Αλεξάνδρεια. Η διάρκεια της ζωής του, όπως και ο τόπος γέννησής του μας παραμένουν άγνωστα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγράφεις τον ταύτισαν λανθασμένα με έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα.
Ευκλείδεια γεωμετρία
Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη χωρικών σχέσεων, δηλαδή σχέσεων μεταξύ σχημάτων που έχουν ιδιότητες όπως μήκος και όγκο και εκτείνονται στο χώρο. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι από την αρχαιότητα χαρακτήριζαν το χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών εννοιών, όπως είναι η επιφάνειες οι γραμμές και τα σημεία. Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η Γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών.
Οι Αρχαίοι Έλληνες, θεωρώντας ότι τα Μαθηματικά πρέπει να είναι διαχωρισμένα από την εμπειρική γνώση οδηγήθηκαν στη θεμελίωση του πρώτου αξιωματικού συστήματος των μαθηματικών, αυτό της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, ο Ευκλείδης όπως είπαμε ήδη, περίπου το 300 π.κ.ε. με το βιβλίο του «Στοιχεία» που το αποτελούσαν 13 τόμοι, ήταν ο πρώτος που τοποθέτησε τη γεωμετρία σε αξιωματική βάση, δικαιολογημένος λοιπόν και ο όρος «Ευκλείδεια γεωμετρία».
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων που μπορούν να νοηθούν μέσα σε αυτόν. Γενικότερα στο χώρο διακρίνουμε τα σημεία (χωρίς καμία διάσταση), τις γραμμές (με μία διάσταση) και τις επιφάνειες (με δύο διαστάσεις). Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή από το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν.
Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε π.χ. για «γραμμές της ασφάλτου» ή «σιδηροδρομικές γραμμές», ή «ακτοπλοϊκές γραμμές» λαμβάνοντας πάντα υπόψη κάποια αρχή (αφετηρία) και κάποιο τερματικό σημείο. Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία όχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά πολλές φορές και με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε άλλοτε «πρωταρχικούς όρους» και άλλοτε «γεωμετρικές προτάσεις».
Έννοιες – προτάσεις
Πρωταρχικές έννοιες (ή αλλιώς, θεμελιώδεις έννοιες) στη Γεωμετρία είναι το σημείο, η ευθεία γραμμή, η γραμμή, το επίπεδο και η επιφάνεια. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεμελιώνεται πάνω σε κάποιες προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθινές: τα αξιώματα. Κάθε άλλη πρόταση (διαφορετική από τα αξιώματα) την θεωρούμε ώς αληθή μόνο εάν έχουμε καταλήξει σε αυτή αποδεικνύοντας την με βάση τα αξιώματα, κατά συνέπεια κάθε αποδεδειγμένη πρόταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη μίας άλλης πρότασης.
Κάθε πρόταση περιέχει την υπόθεση και το συμπέρασμα, στο οποίο καταλήγουμε με τη βοήθεια της απόδειξης.
Η «υπόθεση» και το «συμπέρασμα» λέγονται συνθήκες της πρότασης. Στη Γεωμετρία δύο προτάσεις μπορεί να λέγονται:
Αντίστροφες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης.
Αντίθετες: όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις των συνθηκών της άλλης.
Αντιστροφοαντίθετες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση την άρνηση του συμπεράσματος της άλλης.
Αν δύο προτάσεις σχετίζονται με μία από τις τρεις προηγούμενες σχέσεις, τότε η μία καλείται ευθεία πρόταση και η άλλη «αντίστροφη» ή «αντίθετη» ή «αντιστροφοαντίθετη», αντίστοιχα.
Δύο αντίστροφες προτάσεις λέγονται και ισοδύναμες όπου η κάθε μια εξ αυτών ονομάζεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για την άλλη.
Κατά την εξέταση των γεωγραφικών σχημάτων η Γεωμετρία διακρίνεται στην Επιπεδομετρία και στη Στερεομετρία.
Βασικά στοιχεία της ευκλείδειας γεωμετρίας: Η μελέτη της Γεωμετρίας, όπως και κάθε αξιωματικής θεωρίας, ξεκινά από πρωταρχικές έννοιες, οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά και τις οποίες δεχόμαστε χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις. Επίσης δεχόμαστε ως αρχική την έννοια του ανήκειν, αφού μας ενδιαφέρει να διατυπώνουμε προτάσεις γύρω από «σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία» ή για «κύκλους που ανήκουν σε μια σφαίρα» κ.λπ.
Τέλος, τα προηγούμενα υπόκεινται σε ορισμένα αξιώματα, δηλαδή σε κάποιες παραδοχές, τις οποίες επίσης δεχόμαστε ως διαισθητικά προφανείς, με βάση την εμπειρία. Χαρακτηριστικά αναφέρονται (αναλυτικότερα) τα Αξιώματα Χίλμπερτ. Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα αποδεικνύοντας όλα τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας, κάθε απόδειξη θα στηρίζεται και θα προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα.
Η αποδεικτική μέθοδος δε, είναι κατά βάση κατασκευαστική και συνίσταται στη χρήση κανόνα και διαβήτη. Ιστορικά η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος τεχνικός κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε στο πέρασμα των αιώνων σε επιστήμη, αλλά και για πολλούς αιώνες ο μοναδικός.
Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
Με τον όρο μη ευκλείδειες γεωμετρίες ονομάζουμε κάθε μοντέλο γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται στα περισσότερα από τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας αλλά δεν αποδέχεται κάποιο από τα αιτήματά της. Κυρίως αναφέρεται στις γεωμετρίες οι οποίες δεν αποδέχονται το 5ο αίτημα του Ευκλείδη, ότι δηλαδή από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος. Σήμερα οι κύριοι εκπρόσωποι αυτών των γεωμετριών είναι η υπερβολική γεωμετρία του Λομπατζέφσκι και η σφαιρική γεωμετρία του Ρήμαν.
Υπερβολική Γεωμετρία: Στα μαθηματικά, η υπερβολική γεωμετρία (επίσης ονομάζεται γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (Лобаче́вский)) είναι μια μη-ευκλείδεια γεωμετρία, δηλαδή μια γεωμετρία στην οποία ορισμένα από τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν ισχύουν.
Συγκεκριμένα, στην υπερβολική γεωμετρία δεν ισχύει το αξίωμα των παραλλήλων. Το αξίωμα των παραλλήλων της δισδιάστατης ευκλείδειας γεωμετρίας αντιστοιχεί στην πρόταση ότι, για οποιαδήποτε (ευθεία) γραμμή I και ένα σημείο P που δεν ανήκει στην I υπάρχει ακριβώς μία και μόνο (ευθεία) γραμμή που διέρχεται από το P και δεν τέμνει την I, δηλαδή είναι παράλληλη στην I.
Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν τουλάχιστον δύο ξεχωριστές γραμμές που διέρχονται από το P και οι οποίες δεν τέμνουν την I, και το αξίωμα των παραλλήλων ευθειών είναι για την υπερβολική γεωμετρία εσφαλμένο. Έχουν κατασκευαστεί μοντέλα εντός της ευκλείδειας που υπακούν στα αξιώματα της υπερβολικής γεωμετρίας, το οποίο δείχνει ότι το αξίωμα των παραλλήλων είναι ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη.
Δεν υπάρχει ακριβές υπερβολικό αντίστοιχο των ευκλείδειων παράλληλων ευθειών, με αποτέλεσμα η χρήση του όρου παράλληλο να ποικίλει ανάμεσα στους συγγραφείς. Σ ’αυτό το άρθρο, δύο γραμμές που δεν τέμνονται όσο κι αν τις επεκτείνουμε ονομάζονται ασυμπτωτικές και δύο γραμμές που έχουν μία κοινή κάθετο ονομάζονται υπερπαράλληλες: η απλή λέξη παράλληλη μπορεί να αναφέρεται και στα δύο είδη γραμμών.
Μία χαρακτηριστική ιδιότητα της υπερβολικής γεωμετρίας είναι ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου αντιστοιχεί σε λιγότερο από μία ευθεία (μισό ημικύκλιο). Στο όριο, καθώς οι κορυφές πηγαίνουν προς το άπειρο, υπάρχουν ακόμη και ιδεατά υπερβολικά τρίγωνα με άθροισμα γωνιών 0 μοίρες.
Η Σφαιρική γεωμετρία είναι ιδιαίτερος κλάδος της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας που πραγματεύεται ειδικά την κυρτή επιφάνεια της σφαίρας εξετάζοντας και μετρώντας τόσο αποστάσεις όσο ειδικότερα τα σφαιρικά τρίγωνα. Συναφής δε κλάδος είναι και η σφαιρική τριγωνομετρία.
Σε αντίθεση με την επιπεδομετρία όπου βασικές έννοιες μετρήσεων είναι σημεία, ευθείες γραμμές και επίπεδες γωνίες στη σφαιρική γεωμετρία αντίστοιχα είναι ίχνη σημείων, αποστάσεις, κατ΄ ονομασία «συντομότερες», που αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων και δίεδρες γωνίες επιπέδων μεγίστων κύκλων. Ένα πρόσθετο στοιχείο που λαμβάνει υπόψη είναι ο λεγόμενος αντίποδας ενός σημείου ή ίχνους σημείου.
Σε εφαρμογή των παραπάνω εννοιών στην επιφάνεια της Γης χαρακτηρίζονται επίσης γεωδαισιακές, σε εφαρμογή επί της ουράνιας σφαίρας λέγονται «αστρονομικές» ή «ουράνιες» όπου και ορίζονται με ανάλογα συστήματα συντεταγμένων. Κατ΄ επέκταση και η μετρική αστρονομία χαρακτηρίζεται σφαιρική αστρονομία.
Συχνότερη κλασική χρήση σφαιρικής γεωμετρίας κάνουν τόσο η Αστρονομία όσο και η Ωκεανοπλοΐα καλούμενη επί τούτου και «αστρονομική ναυτιλία», η μεν πρώτη στις διάφορες αστρονομικές παρατηρήσεις και μελέτες, η δε δεύτερη κυρίως στην εύρεση γραμμής θέσεως ή την επίλυση του τριγώνου θέσεως για τον προσδιορισμό του γεωγραφικού στίγματος.
Φυσικός εξηγεί την «Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία»
Ο Benjamin K. Tippett έχει μια θεωρία. Ο μαθηματικός του πανεπιστημίου του New Brunswick πιστεύει ότι βρήκε τι ακριβώς είδανε αυτοί οι τρελαμένοι ναύτες την νύχτα του 1928 όταν συνάντησαν τον Cthulhu σε ένα χαμένο νησί στον Ειρηνικό. Έτσι ο Tippett έχει γράψει μια ξεκαρδιστικά ανέκφραστη μελέτη εξηγώντας την «μη Ευκλείδειο γεωμετρία» μια και καλή. Για να δούμε τι έχει να πει.
Το 1928, ο μακαρίτης Francis Wayland Thurston (ένας υποθετικός χαρακτήρας ‘δημιουργημένος’ από τον H. P. Lovecraft) δημοσίευσε ένα σκανδαλώδες χειρόγραφο με σκοπό να προειδοποιήσει τον κόσμο για μια παγκόσμια συνωμοσία των αποκρυφιστών. Ανάμεσα στα ντοκουμέντα που μάζεψε για να υποστηρίξει την θέση του ήταν και η προσωπική περιπέτεια ενός ναύτη του Gustaf Johansen, που περιγράφει την συνάντηση του με ένα αλλόκοσμο τέρας σε απόκοσμο νησί*. Οι περιγραφές του Johansen για τις περιπέτειες του πάνω στο νησί είναι φανταστικές και συχνά θεωρούνται οι πλέον αινιγματικές στην συλλογή ντοκουμέντων του Thurston.
Όλα τα αξιόπιστα φαινόμενα που περιέγραψε ο Johansen μπορούν να εξηγηθούν ως οι παρατηρήσιμες συνέπειες μιας φυσαλίδας εντοπισμένης καμπυλότητας του ΧωροΧρόνου. Πολλές από τις πιο ακατανόητες δηλώσεις του (αφορά την γεωμετρία της αρχιτεκτονικής, και την μεταβλητότητα της θέσης του ορίζοντα) μπορεί επομένως να ειπωθεί ότι διέπονται από μια ενοποιημένη αιτία.
Προτείνουμε ένα απλοποιημένο παράδειγμα μιας τέτοιας γεωμετρίας, και δείχνουμε χρησιμοποιώντας αριθμητικούς υπολογισμούς ότι οι περιγραφές του Johansen δεν ήταν αυτές ενός τρελού. Είναι οι μη τεχνικές παρατηρήσεις ενός έξυπνου ανθρώπου που δεν καταλάβαινε το πώς να περιγράψει αυτό που έβλεπε. Αντίθετα, φαίνεται απίθανο ότι ο Johansen να μας είχε δώσει άθελά του τέτοια ακριβή περιγραφή των συνεπειών της καμπυλότητας του χωροχρόνου, αν οι λεπτομέρειες αυτής της ιστορίας ήταν απλώς τα κατακάθια ενός μισοξεχασμένου εμπύρετου ονείρου.
Υπολογίσαμε τον τύπο της ύλης που θα απαιτούνταν για να δημιουργήσει μια τέτοια εξωτική ΧωροΧρονική καμπυλότητα. Δυστυχώς, διαπιστώνουμε ότι η ότι η απαιτούμενη ύλη είναι αρκετά αφύσικη και διαθέτει μια φύση που είναι εντελώς ξένη προς όλες τις εμπειρίες της ανθρώπινης επιστήμης. Πράγματι, κάθε πολιτισμός με μαεστρία πάνω σε ένα τέτοιο θέμα, θα είναι σε θέση να κατασκευάσει κινητήρες ΧωροΧρονικής ΣΤΡΕΒΛΩΣΕΩΣ , συσκευές αορατότητας, και άλλες Εξωτικές Γεωμετρίες που απαιτούνται για να ταξιδέψουν εύκολα μέσα στο σύμπαν.
