Παράδοξο;

Ρέιμοντ Σμούλιαν

Ένα παράδοξο από τον Ρέιμοντ Σμούλιαν που το παρουσίασε στην πρώτη συγκέντρωση προς τιμήν του Μάρτιν Γκάρντνερ :

Έστω δυο θετικοί αριθμοί , α και β. Ο ένας είναι διπλάσιος από τον άλλο, αλλά δεν γνωρίζουμε ποιος από τους δυο είναι ο μεγαλύτερος.

- Αν ο α είναι μεγαλύτερος από τον β, τότε προφανώς α=2β,  άρα η "αριθμητική υπεροχή" του α από τον β ισούται με β. 

Από την άλλη, αν ο β είναι μεγαλύτερος από τον α, τότε α=0.5β , και η αριθμητική υπεροχή του β από τον α είναι β-0.5β=0.5β.

Προφανώς και ισχύει ότι β είναι μεγαλύτερο από το 0.5β, άρα γενικεύοντας μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η αριθμητική υπεροχή του α από το β, αν α είναι μεγαλύτερη από το β , είναι μεγαλύτερη από την αριθμητική υπεροχή του β από το α ,αν β μεγαλύτερο του α.

- Έστω δ η διαφορά ανάμεσα στα α,β. Από υπόθεση η διαφορά είναι ίση με τον μικρότερο από τους δυο αριθμούς. Άρα μπορούμε να ισχυριστούμε η αριθμητική υπεροχή του α από τον β, αν α μεγαλύτερος του β είναι ιση με την αριθμητική υπεροχή του β από το α, αν β μεγαλύτερο του α.

Παρατηρείτε ότι έχουμε αντιφατικά συμπεράσματα. Ο Σμουλίαν ευφυώς «μπουρδουκλώνει» τους ισχυρισμούς του και καταλήγει σε αντίφαση.

πηγή